Rozklad mnohočlenů na součin: vytýkání a vzorce

Rozklad na součin je nástroj, který se pak používá u rovnic, u krácení zlomků i u limit. Vyplatí se ho mít v ruce automaticky.

Postup, který funguje vždy

1. Vytkni, co jde. Hledej největší společný dělitel všech členů, včetně proměnných.

2. Podívej se na počet členů. Dva členy: zkus vzorec. Tři členy: zkus rozklad kvadratického trojčlenu. Čtyři členy: zkus vytýkání po skupinách.

3. Zkontroluj, jestli se dá rozkládat dál.

4. Ověř roznásobením.

Vzorce, které je potřeba znát

a² − b² = (a − b)(a + b)

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

• Pozor: součet kvadrátů a² + b² se v reálných číslech rozložit nedá.

Kvadratický trojčlen

U výrazu x² + px + q hledáme dvě čísla, jejichž součet je p a součin q.

• Příklad: x² + 5x + 6. Hledáme čísla se součtem 5 a součinem 6, tedy 2 a 3. Rozklad je (x + 2)(x + 3).
• Kontrola roznásobením: x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Souhlasí.

K čemu to je

Součin je nulový právě tehdy, když je nulový alespoň jeden činitel. Proto se rovnice řeší tak, že se převedou na nulu a rozloží.

Z rovnice x² + 5x + 6 = 0 tedy dostaneme (x + 2)(x + 3) = 0, a odtud x = −2 nebo x = −3.