Matematika
Exponenciální a logaritmické rovnice přehledně
Jak řešit rovnice s neznámou v exponentu i v logaritmu. Pravidla pro logaritmy, definiční obor a nutná zkouška.
Exponenciální a logaritmická funkce jsou navzájem inverzní. Když to člověk pochopí, většina rovnic se rozpadne na jeden krok.
Pravidla pro logaritmy
log(a · b) = log a + log b
log(a / b) = log a − log b
log(aⁿ) = n · log a
log_a a = 1 a log_a 1 = 0
Argument logaritmu musí být vždy kladný. To určuje definiční obor.
Exponenciální rovnice
Když jde obě strany převést na stejný základ, porovnají se exponenty.
- Příklad: 2ˣ = 32. Protože 32 = 2⁵, platí x = 5.
Když to nejde, rovnici zlogaritmujeme.
Logaritmické rovnice a zkouška
Rovnici log_a f(x) = log_a g(x) řešíme jako f(x) = g(x), ale nejdřív určíme definiční obor.
Zkouška je tady povinná, ne doporučená. Úpravy logaritmů mohou vyrobit řešení, které do definičního oboru nepatří.
- Příklad: řešení, které vyjde jako x = −3, musíme vyloučit, pokud by v logaritmu vznikl negativní argument.
Vlastnosti, které se hodí u grafů
Funkce aˣ je rostoucí pro a > 1 a klesající pro 0 < a < 1.
Graf funkce aˣ prochází vždy bodem (0, 1).
Graf logaritmické funkce prochází bodem (1, 0).
Časté otázky
- Proč musí být argument logaritmu kladný?
- Logaritmus je definován jako exponent, na který se umocní základ. Kladný základ nikdy nedá nulu ani negativní číslo.
- Kdy je nutná zkouška?
- U logaritmických rovnic vždy. U exponenciálních jen tehdy, když jsme rovnici umocňovali.
- Čemu se rovná log₂ 8?
- Třem, protože 2³ = 8.
Souvisí s tématem
- Navazuje na blok Funkce a rovnice