Matematika
Aritmetická a geometrická posloupnost: vzorce a užití
Rozdíl mezi diferencí a kvocientem, vzorce pro n-tý člen i součet, a jak poznat, kterou posloupnost úloha popisuje.
Posloupnosti jsou u maturity vděčné téma, protože stačí pár vzorců a schopnost je správně rozpoznat.
Jak posloupnosti rozpoznat
- Aritmetická: každý další člen vznikne přičtením stejného čísla. Rozdíl dvou po sobě jdoucích členů je konstantní, značíme d.
- Geometrická: každý další člen vznikne vynásobením stejným číslem. Podíl dvou po sobě jdoucích členů je konstantní, značíme q.
- Test: spočítej rozdíly. Když jsou stejné, je aritmetická. Když ne, spočítej podíly.
Vzorce
- Aritmetická, n-tý člen: aₙ = a₁ + (n − 1) · d
- Aritmetická, součet: sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2
- Geometrická, n-tý člen: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
- Geometrická, součet pro q ≠ 1: sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1)
Pozor na exponent n − 1 u geometrické. Záměna za n je nejčastější chyba.
Příklad
Aritmetická posloupnost má a₁ = 3 a d = 4. Kolik je a₅?
aₙ = a₁ + (n − 1) · d = 3 + 4 · 4 = 19
Geometrická posloupnost má a₁ = 2 a q = 3. Kolik je a₄?
aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ = 2 · 3³ = 2 · 27 = 54
Rekurentní zadání
Rekurentní zadání říká, jak z předchozího členu spočítat další, například a₁ = 2 a aₙ₊₁ = aₙ + 5.
- Výhoda: je z něj hned vidět, o jakou posloupnost jde. Nevýhoda: k dopočítání stého členu bys musel projít všechny předchozí, proto se hledá vzorec pro n-tý člen.
Kde se to používá v praxi
Geometrická posloupnost popisuje složené úročení, odpisy majetku i růst populace.
Aritmetická popisuje rovnoměrné odpisy nebo pravidelné spoření bez úroku.
Časté otázky
- Kdy je geometrická posloupnost rostoucí?
- Pro a₁ > 0 a q > 1. Pro 0 < q < 1 je klesající.
- Jaký je nejčastější zdroj chyb?
- Exponent u geometrické posloupnosti. Je to n − 1, ne n.
- Co když je q = 1?
- Pak jsou všechny členy stejné a součet je n · a₁. Obecný vzorec by dělil nulou.
Souvisí s tématem
- Navazuje na blok Posloupnosti