Matematika
Kombinatorika: variace, permutace a kombinace
Jak poznat, který kombinatorický nástroj úloha chce. Rozhodovací postup podle toho, jestli záleží na pořadí a jestli se prvky opakují.
Kombinatorické vzorce nejsou to hlavní. Hlavní je rozhodnout, který z nich použít. Na to stačí dvě otázky.
Dvě otázky, které rozhodnou
Záleží na pořadí? Když ano, jde o variaci nebo permutaci. Když ne, jde o kombinaci.
Mohou se prvky opakovat? Když ano, použij vzorec s opakováním.
Permutace je speciální případ variace, kdy vybíráme všechny prvky.
Vzorce
- Permutace n prvků: n!
- Variace k z n bez opakování: n! / (n − k)!
- Kombinace k z n: n! / (k! · (n − k)!)
- Variace s opakováním: nᵏ
Příklady, na kterých je rozdíl vidět
Kolika způsoby lze uspořádat 4 knihy na polici? Záleží na pořadí, bereme všechny, tedy permutace: 4! = 24.
Kolik dvojic lze vybrat z 5 lidí? Nezáleží na pořadí, tedy kombinace: 5! / (2! · 3!) = 10.
Kolik trojmístných PIN kódů z cifer 0 až 9? Záleží na pořadí a cifry se mohou opakovat: 10³ = 1000.
Časté otázky
- Jak rychle poznám kombinaci?
- Když se v zadání mluví o výběru skupiny, týmu nebo množiny, na pořadí obvykle nezáleží.
- Kolik je 0!?
- Jedna. Je to definice, která zajišťuje, že vzorce fungují i v krajních případech.
- Proč je u kombinace v jmenovateli k!?
- Protože každou vybranou skupinu bychom jinak počítali tolikrát, kolika způsoby ji lze uspořádat.
Souvisí s tématem
- Navazuje na blok Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika