Matematika
Negace výroků a důkazy: jak na logiku bez memorování
Negace obecného a existenčního výroku, obměna implikace a tři typy důkazů. Vysvětleno na příkladech, které se objevují u maturity.
Logika bývá první téma, na kterém se studenti zaseknou, protože vypadá abstraktně. Přitom stačí zvládnout dvě věci: umět výrok správně znegovat a poznat, jaký typ důkazu úloha chce.
Negace: pozor na kvantifikátory
Negace obrací kvantifikátor. Z „každý“ se stane „alespoň jeden ne“, z „existuje“ se stane „žádný“.
Výrok „Každý student prošel“ má negaci „Alespoň jeden student neprošel“, ne „Žádný student neprošel“.
Výrok „Existuje řešení“ má negaci „Neexistuje žádné řešení“.
- Tohle je nejčastější chyba u písemek: studenti negují obsah, ale zapomenou obrátit kvantifikátor.
Obměna implikace
Implikace „jestliže A, pak B“ je ekvivalentní své obměně „jestliže neplatí B, pak neplatí A“. Obě mají stejnou pravdivostní hodnotu.
- Příklad: „Je-li číslo dělitelné 4, je dělitelné 2“ má obměnu „Není-li číslo dělitelné 2, není dělitelné 4“.
- Pozor: obrácená implikace „je-li dělitelné 2, je dělitelné 4“ platit nemusí. Číslo 6 je protipříklad.
Tři typy důkazů
- Přímý důkaz: z předpokladu postupně odvodíme závěr.
- Důkaz sporem: předpokládáme, že tvrzení neplatí, a dojdeme k nemožnému závěru. Tím jsme vyvrátili předpoklad.
- Matematická indukce: dokážeme tvrzení pro nejmenší n a pak že z platnosti pro n plyne platnost pro n + 1.
K vyvrácení tvrzení stačí jediný protipříklad. Tvrzení „každé prvočíslo je liché“ vyvrátí číslo 2.
Časté otázky
- Jaká je negace výroku „všichni“?
- „Alespoň jeden ne.“ Nikoli „nikdo“, to je silnější tvrzení.
- Kdy použít důkaz sporem?
- Když se přímé odvození nedaří, typicky u tvrzení o neexistenci nebo o iracionalitě čísel.
- Stačí u maturity k vyvrácení jeden protipříklad?
- Ano. K vyvrácení obecného tvrzení stačí jediný případ, kdy neplatí.
Souvisí s tématem
- Navazuje na blok Základní poznatky v osnově matematiky